「x³ – 3x – 2」の因数分解を求める問題は、代数の基本的な技術を使って解くことができます。このポリノミアルを因数分解するためには、まずは試行錯誤で解の候補を見つけ、次に適切な因数分解のテクニックを適用することが重要です。この記事では、因数分解のステップをわかりやすく解説します。
因数分解の基本的なアプローチ
まず最初に、x³ – 3x – 2 を因数分解するためには、解の候補を見つけることが必要です。解の候補は、常に定数項と係数に関連しています。特に、多項式の解は有理数定理に基づいて予測することができます。
x³ – 3x – 2 のような多項式の場合、まずは係数と定数項から解を試すことが一般的なアプローチです。
有理数定理を使用した解の候補の求め方
有理数定理を使うと、多項式の有理数解を簡単に予測できます。x³ – 3x – 2 の場合、定数項は-2、最高次の項の係数は1です。この定数項と係数から、有理数解の候補は±1, ±2です。
これらの値をxに代入して、方程式が成立するかどうかを確認することによって、解を見つけることができます。
実際に解を求める
x³ – 3x – 2 に解の候補±1, ±2を代入してみます。
まず、x = 1 を代入すると。
1³ – 3(1) – 2 = 1 – 3 – 2 = -4
次に、x = -1 を代入すると。
(-1)³ – 3(-1) – 2 = -1 + 3 – 2 = 0
したがって、x = -1 が解であることがわかります。
因数分解の実行
x = -1 を解として見つけたので、x + 1 が因数の一つであることがわかります。次に、x³ – 3x – 2 を (x + 1) で割ることによって、残りの因数を求めます。
x³ – 3x – 2 ÷ (x + 1) を実行すると、商は x² – x – 2 になります。
したがって、x³ – 3x – 2 は次のように因数分解されます。
(x + 1)(x² – x – 2)
残りの二次式の因数分解
次に、二次式 x² – x – 2 を因数分解します。この式を因数分解すると。
x² – x – 2 = (x – 2)(x + 1)
したがって、最終的な因数分解の結果は。
(x + 1)(x – 2)(x + 1) または (x + 1)²(x – 2) です。
まとめ
x³ – 3x – 2 の因数分解は、まず解の候補を見つけ、有理数定理を使って解を予測し、その後、実際に解を求めて因数分解する方法です。最終的に、x³ – 3x – 2 の因数分解は (x + 1)²(x – 2) となります。このように、代数の基本的な技術を使うことで、複雑に見える多項式も簡単に因数分解できます。
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