微分方程式 y” + 2xy’ + (x^2 – 8)y = x^2e^(-x^2/2) の解法

微分方程式は、様々な自然現象や物理現象をモデル化するために使われます。この記事では、次の微分方程式の解法を解説します。

y” + 2xy’ + (x^2 – 8)y = x^2e^(-x^2/2)

問題の理解と式の整理

この微分方程式は2階線形非同次微分方程式です。まず、与えられた式の各項を整理しましょう。

y”はyの2階微分、y’は1階微分です。また、右辺のx^2e^(-x^2/2)は非同次項となり、解法において特別な注意が必要です。

解法のアプローチ：補助方程式と特別解

微分方程式の解法は、まず補助方程式を解き、次に特別解を求める方法が一般的です。

補助方程式は、右辺に0がある場合に対応する同次方程式です。この方程式を解くことで、同次解を得ます。その後、非同次項に対する特別解を求め、最終的に一般解を得ます。

同次方程式の解法

まず、同次方程式を考えます。この方程式は次のように表されます。

y” + 2xy’ + (x^2 – 8)y = 0

この同次方程式は、適切な方法で解く必要があります。通常、変数分離法や定数変化法、または適切な変数変換を用いて解を求めます。

この方程式を解くためには、特殊関数（例えばガウスの誤差関数など）を利用することが一般的です。

特別解の求め方

次に、非同次項x^2e^(-x^2/2)に対応する特別解を求めます。特別解の形式を仮定し、その形式を微分方程式に代入することで、解を得ることができます。

特別解を求めるためには、非同次項の形に合わせた仮定を行い、必要な定数を求めます。このステップでは、適切な試行解を選ぶことが解法の鍵となります。

最終解の組み合わせ

最終的に、同次解と特別解を組み合わせることで、微分方程式の一般解を得ることができます。一般解は次のように表されます。

y(x) = y_h(x) + y_p(x)

ここで、y_h(x)は同次方程式の解、y_p(x)は特別解です。これらを加えることで、微分方程式の最終的な解が得られます。

まとめ

微分方程式 y” + 2xy’ + (x^2 – 8)y = x^2e^(-x^2/2) の解法は、同次解と特別解を組み合わせることによって求めます。同次方程式の解を求めた後、特別解を求め、最終的に一般解を得るという手順で解くことができます。微分方程式の解法を習得することで、より複雑な問題にも対応できるようになります。