行列のランクが1である2×2行列の求め方

行列に関する問題で「rank(A) = 1」という条件が与えられることがありますが、この意味がわかりにくい場合があります。特に「2×2行列A」の場合、どのようにこの条件を満たす行列を求めるのかを理解することは重要です。本記事では、行列のランクとその求め方、具体的な例を交えて解説します。

1. 行列のランクとは？

行列のランクとは、その行列がどれだけ独立したベクトルを含んでいるかを示す数値です。ランクが1であるということは、その行列に含まれるベクトルが1つの方向に依存していることを意味します。つまり、行列の列または行が1つのベクトルに線形依存している状態です。

2. 2×2行列Aにおけるランク1の条件

2×2行列Aのランクが1であるためには、行列の行や列が完全に独立していない必要があります。例えば、行列Aの列が互いに比例している場合、その行列のランクは1になります。

3. 例: rank(A) = 1 の2×2行列

以下に、ランク1の2×2行列Aの例を示します。
行列A = [[2, 4], [1, 2]] はランク1です。なぜなら、2番目の列は最初の列の2倍だからです。このように、2×2行列の列が線形依存しているとき、そのランクは1になります。

4. 問題の解法: rank(A) = 1 の行列Aを求める方法

質問のように、与えられた条件でランクが1の行列を求めるためには、まず行列の列または行が線形依存していることを確認します。たとえば、行列Aの列ベクトルが比例関係にある場合、そのランクは1になります。具体的な解法としては、行列の一方の列ベクトルを選び、もう一方の列ベクトルがそれに比例するように設定すればよいのです。

まとめ

ランクが1の2×2行列を求めるためには、行列の行または列が線形依存していることを確認することが重要です。例えば、行列A = [[2, 4], [1, 2]] のように、2番目の列が最初の列のスカラー倍になっていれば、ランクは1となります。質問にある「rank(A) = 1」の条件を理解し、実際に計算する際にこの考え方を応用することで、問題を解決できます。