二次方程式の判別式と解の種類についての理解

二次方程式の判別式（D）に関する質問は、数学を学ぶうえで非常に重要なテーマです。今回は判別式の値によって解の種類がどのように決まるのか、特に虚数解の場合について詳しく解説します。

1. 判別式とは？

まず、二次方程式の一般的な形は「ax² + bx + c = 0」となります。この方程式の解を求める際に重要な役割を果たすのが、判別式(D)です。判別式Dは次のように求められます。

D = b² – 4ac

判別式Dの値によって、二次方程式の解がどのような種類かが決まります。

質問の中で、「虚数解を持つときはD≦0となるのですか？」という点についてですが、実際には虚数解を持つ場合の判別式Dは「D < 0」に該当します。判別式が負の場合、解は実数解ではなく虚数解となり、複素数の形で表されます。虚数解は実際の数値を持つ解ではなく、虚数単位iを含んだ解となります。

例えば、次の二次方程式を考えます。

x² + x + 1 = 0

この場合、判別式Dは次のように計算されます。

D = 1² – 4(1)(1) = 1 – 4 = -3

ここで判別式が負（D < 0）であるため、この方程式は実数解を持たず、虚数解を持つことが分かります。

判別式Dの値によって、二次方程式の解が異なることが理解できたでしょう。D > 0の場合は異なる実数解、D = 0の場合は重解、D < 0の場合は虚数解になります。虚数解を求める際には、判別式が負であることに注目しましょう。