積分の順序交換について：∫_0^∞ dx∫_0^∞ dy e^{-xy²}cos x のケース

積分の順序を交換する問題は、解析学や数値解析でよく出てくる課題です。ここでは、二重積分の順序を入れ替えても問題ない理由を解説します。特に、与えられた積分

∫_0^∞ dx∫_0^∞ dy e^{-xy²}cos x とその順序交換 ∫_0^∞ dy∫_0^∞ dx e^{-xy²}cos x について考えます。

1. 二重積分の順序交換の基本的な考え方

二重積分の順序を交換するための基本的なルールは、積分範囲と積分対象が連続的である場合です。特に、積分対象が非負であるか、または積分値が絶対収束する場合、順序を入れ替えても積分結果は変わりません。

そのため、与えられた式においても、積分範囲が[0, ∞]に対するものであり、積分対象が収束するため、順序を入れ替えても結果は変わりません。

積分の順序を交換するためには、積分対象が絶対収束する必要があります。絶対収束とは、積分した関数が積分範囲で十分に小さく、積分が収束することを意味します。積分対象が収束する場合、順序を変えても積分結果は一致します。

この場合、関数 e^{-xy²}cos x は適切に収束しますので、順序を変更することができます。

関数 e^{-xy²}cos x をよく見ると、指数関数が含まれており、特に y が大きくなるにつれて急激に収束します。これは、積分範囲が無限大であっても、指数関数がすぐにゼロに近づくためです。この収束性により、順序交換を行っても結果に影響を与えることはありません。

積分の順序を入れ替える場合、まずは外側の積分と内側の積分を順番に変更します。この変更が可能であるためには、関数が収束し、積分範囲内でその収束が保証されていることが必要です。これにより、結果として同じ数値を得ることができます。

積分の順序交換は、積分範囲が適切であり、積分対象が絶対収束する場合にのみ可能です。この問題では、関数が収束するため順序を交換しても結果に影響がないことが確認できます。したがって、与えられた積分の順序を変更しても、結果は変わりません。