微分方程式 y'' - 4xy' + (4x^2 - 3)y = e^x^2 の解法

微分方程式の問題「y” – 4xy’ + (4x^2 – 3)y = e^x^2」を解く方法を段階的に説明します。このような微分方程式を解くためには、適切な解法を選択し、計算を進める必要があります。

1. 微分方程式の整理

まず、問題の微分方程式は以下の通りです。

y” – 4xy’ + (4x^2 – 3)y = e^x^2

この式には、yの2階微分、yの1階微分、およびyの項が含まれています。このような微分方程式を解くために、変数分離法や特解法を用いることが考えられます。

まず、非同次項がない場合（右辺が0のとき）の同次方程式を解きます。

y” – 4xy’ + (4x^2 – 3)y = 0

この方程式は、2階線形微分方程式です。解法としては、補助関数を使って解く方法が適用されます。具体的な方法は、解の形を仮定し、適切な変数を求めることです。

次に、特解を求めるために、右辺にあるe^x^2に対応する解法を適用します。この場合、非同次項がe^x^2であるため、特解の形式を仮定します。

仮定する特解の形は、問題の形式に合う形で導出し、その後、代入して係数を決定する方法を取ります。

同次方程式の解と特解を合わせて、最終的な解を得ることができます。最終的な解は、同次解と特解の線形結合として求められます。

微分方程式「y” – 4xy’ + (4x^2 – 3)y = e^x^2」を解くには、同次方程式の解法と特解を求める方法を適用します。計算においては、適切な解法と仮定を使って、最終的な解を求めることができます。