大人と子どもが交互に並ぶ並び方の数学的解説

「大人3人と子ども3人が輪の形に並ぶとき、大人と子どもが交互に並ぶ並び方は何通りか？」という問題について解説します。この問題の答えが12通りである理由と、子どもが円順列にならない理由を説明します。

1. 問題の設定

大人3人と子ども3人が輪の形に並ぶとき、大人と子どもが交互に並ぶ並び方を求めます。このような問題では、円形の並びに関しての数学的な考え方が重要になります。

まず、円順列と線順列の違いについて説明します。円順列は、円形に並べる際に1つの位置を基準にして他の位置を決定する方法です。これに対して、線順列は1方向に並べる順列で、開始点が決まっていないため、回転の重複を考慮しません。

円順列では、1つの位置を決めてから残りの要素を並べるため、基本的に「n-1」通りで並べることができます。これが、大人3人を並べる際に「(3-1)!」の式になる理由です。

次に、子ども3人の並び方について考えます。子どもたちは大人と交互に並べる必要がありますが、ここでは「円順列」に該当しない理由を解説します。

円順列では、1つの位置を基準にして並べるため、残りの要素は回転の影響を受けません。しかし、子どもたちの場合、すでに大人が並んでいる位置に合わせて並べる必要があるため、子どもたちの並び方は線順列となります。このため、子どもたちの並び方は「3!」通りとなります。

大人3人を並べる場合、円順列なので「(3-1)! = 2! = 2通り」となります。子ども3人は、大人たちの隙間に並べることになるため、線順列として「3! = 6通り」となります。

したがって、大人と子どもが交互に並ぶ並び方は、次の計算で求められます。

大人と子どもが交互に並ぶ問題では、円順列の性質を利用して大人3人を並べ、残りの子どもたちは線順列で並べることになります。これにより、並び方は「(3-1)! × 3! = 12通り」となります。子どもたちの並びが円順列にならない理由は、すでに並んでいる大人たちの位置に合わせて並べるためです。