正四面体OABCの三角すいPAQRの体積を求める方法

「1辺が12cmの正四面体OABCがある。OAを1：2に内分する点をP、ABを3：1に内分する点をQ，ACを1：1に内分する点をRとするとき、三角すいPAQRの体積を求めよ。」という問題について解説します。正四面体を使った三角すいの体積を求める方法について、ステップごとに詳しく説明します。

問題の理解

正四面体OABCがあり、点P、Q、Rが与えられています。まず、これらの点がどのように配置されているのかを理解することが大切です。点PはOAを1：2に内分、点QはABを3：1に内分、点RはACを1：1に内分しています。

三角すいPAQRの体積を求める方法

三角すいの体積を求めるためには、まず三角形PAQRの面積を求め、その面積に高さを掛けて1/3倍するという方法を使います。しかし、そのためには点P、Q、Rの座標を求める必要があります。

点P、Q、Rの座標を求める

点P、Q、Rの座標は、正四面体の各辺を内分した比率を使って計算できます。具体的には、点PはOAを1：2に内分するので、座標を(1/3, 0, 0)のように求めることができます。点QはABを3：1に内分するので、座標は(9/12, 3/12, 0)となり、点RはACを1：1に内分するので、座標は(6/12, 6/12, 0)となります。

体積の計算

点P、Q、Rの座標を求めたら、次に三角形PAQRの面積を求め、そこから高さを掛けて1/3倍して体積を求めます。この方法を使うと、答えは36√2となります。

まとめ

正四面体OABCの三角すいPAQRの体積を求めるためには、点P、Q、Rの座標を計算し、三角形PAQRの面積を求め、その面積に高さを掛けて1/3倍するという方法を使います。最終的に得られる体積は36√2立方センチメートルとなります。