この問題は、高校数学でよく見られる三角関数の不等式を解く問題です。問題文に従って、合成を使って解く方法をわかりやすく解説します。
問題の確認と合成の準備
与えられた不等式は次の通りです。
sin2θ – √3cos2θ ≦ √3
まず、この式を解くために、合成を使います。三角関数の合成の方法として、a sin x + b cos x = R sin(x + φ) という形に変形する方法を使います。
合成を使って式を簡単にする
まず、sin2θ – √3cos2θ の形を R sin(2θ + φ) の形に変形します。
合成の式に合わせて、次のように設定します。
a = 1, b = -√3 とすると、R は次のように計算できます。
R = √(a² + b²) = √(1² + (-√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2
φ は次のように求めます。
tanφ = b/a = -√3/1 = -√3 なので、φ = -π/3 となります。
これにより、式は次のように簡単になります。
sin2θ – √3cos2θ = 2sin(2θ – π/3)
不等式を解く
したがって、元の不等式は次のように変形できます。
2sin(2θ – π/3) ≦ √3
両辺を2で割って、次のようにします。
sin(2θ – π/3) ≦ √3/2
sinの値が√3/2以下であるため、2θ – π/3 の範囲を求めます。
範囲を求める
sinx = √3/2 の解は、x = π/3 または x = 2π – π/3 = 5π/3 です。
したがって、次の範囲になります。
−π/3 ≦ 2θ – π/3 ≦ 5π/3
この範囲をθについて解くと、次のように求められます。
0 ≦ 2θ ≦ 2π → 0 ≦ θ ≦ π
したがって、θの範囲は 0 ≦ θ ≦ π となります。
まとめ
この問題では、合成を使って三角関数の形を簡単にし、不等式を解く方法を学びました。最終的にθの範囲は 0 ≦ θ ≦ π という結果になります。
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