高校数学の積分において、絶対値を含む式の取り扱いに関する質問が多くあります。特に、∫［0→π/6］cosθ/|cosθ|dθ のような問題で、絶対値が外れて〔θ〕［0→π/6］の形になる理由について説明します。今回はその理由を詳しく解説します。
1. 絶対値と積分の基本的な取り扱い
積分において絶対値が関わる場合、その絶対値の範囲を明確にして計算を進めます。特に、|cosθ| のような絶対値が含まれる場合、cosθ の符号に応じて式を変形する必要があります。θ の範囲によって cosθ の符号が変わるため、その処理が重要です。
2. θの範囲とcosθの符号の関係
今回の問題で扱っている範囲は、θ ∈ [0, π/6] です。この範囲で、cosθ は常に正の値を取るため、|cosθ| はそのまま cosθ に置き換えることができます。したがって、積分式は √16 – √5 のように簡略化されるのです。
もし、θ の範囲が [5π/6, π] など、cosθ が負の値を取る場合には、|cosθ| は -cosθ となります。この場合、積分式において符号の反転が必要になります。
3. 絶対値が外れる理由とその計算方法
問題にあるように、|cosθ| は θ の範囲が [0, π/6] のとき、cosθ に置き換えることができます。これが、積分結果として 〔θ〕［0→π/6］ という形になる理由です。
もしθ の範囲が [5π/6, π] のように変わると、cosθ が負になるため、|cosθ| は -cosθ になります。この時、積分を解く際に出てくる角度の符号も変わり、計算結果が異なる形になります。
4. 実際の計算例
∫［0→π/6］cosθ/|cosθ|dθ の問題を具体的に計算すると、まず絶対値の処理を行い、式を簡単にします。ここで重要なのは、範囲が [0, π/6] であるため、cosθ は正の値を取り、計算が簡略化されるという点です。
もし範囲が [5π/6, π] のようにcosθ が負であれば、計算は異なり、積分式を−cosθ として解く必要があります。この違いを理解することが、絶対値を扱う際のポイントです。
5. まとめ
絶対値が関わる積分問題では、θ の範囲に応じてcosθ の符号が変わるため、その取り扱いに注意が必要です。範囲が [0, π/6] の場合、cosθ は正なので、|cosθ| はそのまま cosθ に置き換えられます。一方、範囲が [5π/6, π] の場合、cosθ は負になり、絶対値を取り扱う際に符号を反転させる必要があります。
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