零環でない2つの環の直積が整域でない理由

数学における環の直積について、特に「零環でない2つの環の直積が整域でないのか？」という疑問は、環論を学ぶ上で重要な理解を深めるための良い問題です。この問題に対する答えを探ることで、環や整域の性質をより良く理解できるようになります。

1. 環と整域の定義について

まず、基本的な定義を確認しましょう。環とは、加法と乗法という2つの演算が定義されている集合です。加法についてはアーベル群の構造を持ち、乗法については結合律と分配律が成り立ちます。整域とは、零因子を持たない環のことです。つまり、乗法において0以外の元同士が掛け合わさったとき、結果として0になることがない環です。

2. 直積環の性質

2つの環RとSがあるとき、それらの直積R×Sは、新しい環を形成します。この環は、元が順序対(r, s)で構成され、加法と乗法がそれぞれの成分ごとに定義されます。しかし、この環が整域であるためには、乗法において零因子が存在しない必要があります。

直積環R×Sが整域でないことがある理由は、直積環の元として(r1, s1)と(r2, s2)が存在する場合に、(r1, s1)と(0, s2)が掛け合わされて(0, 0)になってしまう点です。このような元が存在するため、直積環R×Sは通常、整域とはなりません。

3. なぜ直積が整域でないのか

直積環R×Sが整域でない理由を理解するためには、零因子の存在に注目します。例えば、RとSがどちらも整域でない場合、直積環内に零因子が存在します。これにより、直積環R×Sが整域でない理由が明確になります。

直積R×Sで任意の元(r1, s1)と(0, s2)が掛け合わされた場合、(r1, s1)×(0, s2) = (r1×0, s1×s2) = (0, 0)という結果になります。このように、零因子を持つ元が直積環内に存在するため、直積環は整域ではありません。

4. 結論

零環でない2つの環の直積が整域でない理由は、直積環の性質に由来します。直積環R×Sの元に零因子が存在し、そのため直積環が整域でないという結果に至ります。この理解を通じて、環論における直積と整域の性質をより深く理解することができます。