f(x, y, z) = yz + zx + xy の線積分の計算方法

線積分の計算に関する質問ですね。まず、与えられた関数と曲線をもとに、線積分の求め方を解説します。この問題を理解するためには、まず線積分の基本的な概念を押さえておくことが重要です。

線積分の基本的な概念

線積分は、ベクトル場またはスカラー場を曲線に沿って積分する方法です。一般的に、スカラー場の線積分は、曲線上の各点でのスカラー場の値を、曲線の長さに沿って積分することで計算されます。この問題の場合、与えられた関数f(x, y, z)はスカラー場であり、曲線Cに沿って積分を行います。

与えられた曲線と関数

問題では、f(x, y, z) = yz + zx + xyというスカラー関数と、曲線Cが(t³, (t² × √6) / 2, t)で与えられています。まず、曲線Cのパラメータ表示を確認しましょう。ここでtはパラメータであり、tに対してx、y、zがどのように変化するかを表しています。

線積分の計算方法

線積分を計算するためには、まずパラメータtを使ってf(x, y, z)の値をtに関して表現します。次に、積分する範囲を決めて、関数を積分します。線積分の一般的な形は次のようになります：
∫C f(x, y, z) ds = ∫[t₁, t₂] f(x(t), y(t), z(t)) ||r'(t)|| dt ここでr(t)は曲線Cのパラメータ表示です。

具体的な計算のステップ

1. f(x, y, z) = yz + zx + xyをtに関して書き換える。
2. r(t) = (t³, (t² × √6) / 2, t) の導関数r'(t)を求める。
3. ||r'(t)||を計算し、積分式に代入する。
4. 積分範囲[t₁, t₂]に基づいて線積分を計算する。

まとめ

線積分は、ベクトル場やスカラー場の曲線に沿った積分を求める方法です。問題を解くためには、まず与えられた関数と曲線をパラメータ表示で表し、適切に積分を行うことが重要です。具体的な計算方法を理解することで、同じような問題にも対応できるようになります。