三角関数の合成を使って解く不等式 sin(2θ) - √3cos(2θ) ≦ √3 の解法

高校数学の問題「0≦θ≦2π の範囲で、不等式 sin(2θ) – √3cos(2θ) ≦ √3 を解け」について解説します。三角関数の合成を使う方法と、その後の解法の手順を分かりやすく説明していきます。

問題の理解と合成のアプローチ

まず、問題文の不等式 sin(2θ) – √3cos(2θ) ≦ √3 を見てみましょう。この式は、三角関数の合成を使うことで、もっと簡単に扱うことができます。具体的には、sin(2θ) と cos(2θ) の係数を使って、1つの三角関数にまとめることができます。

合成のために、式 sin(2θ) – √3cos(2θ) を以下のように合成します。

Rsin(2θ + α) の形に変換することができます。ここで、R と α は適切に求めるべき定数です。

sin(2θ) – √3cos(2θ) を Rsin(2θ + α) の形にするために、次のように計算します。

この連立方程式を解くと、R = 2, α = -π/3 となります。

ここまでで、sin(2θ) – √3cos(2θ) = 2sin(2θ – π/3) という形に変換できました。

したがって、不等式は次のように書き換えられます。

2sin(2θ – π/3) ≦ √3

この不等式を解くために、両辺を2で割って、次のようになります。

sin(2θ – π/3) ≦ √3 / 2

sin(2θ – π/3) の値が √3 / 2 になるとき、θ の値を求めることができます。

sin(2θ – π/3) ≦ √3 / 2 となる θ の範囲を求めます。まず、sin(2θ – π/3) = √3 / 2 の解を求めます。sin(θ) = √3 / 2 となる角度は、θ = π/3, 2π/3 です。

したがって、2θ – π/3 = π/3 または 2θ – π/3 = 2π/3 となります。これらの式を解くことで、θ の値を求めることができます。

具体的には。

これらの解をまとめると、θ の範囲は 0 ≦ θ ≦ π および π ≦ θ ≦ 2π の間で求められます。

この問題では、まず三角関数の合成を利用して式を簡単にし、その後、不等式を解くことでθ の範囲を求めました。合成を用いることで、三角関数の複雑な形を単純化し、解きやすくすることができます。最終的な解は、θ の範囲として 0 ≦ θ ≦ 2π の間で解が求められます。