この問題では、与えられた数列の初項から第n項までの和Snから、一般項anを求める方法を解説します。数列の和に関する問題は、数列の特徴を理解することが重要です。この記事では、具体的な式を例に挙げて、一般項をどのように導き出すのかを順を追って説明します。
問題の設定とアプローチ
与えられた問題は次の2つの式に基づいています。
- Sn = n × (n + 4n)
- Sn = 3 × n × n – n
これらの和の式から、一般項anを求める方法を解説します。一般項anは、Snの差分として求めることができます。つまり、一般項はSnとSn-1の差として計算されます。
(1) Sn = n × (n + 4n) の場合
最初の式は、Sn = n × (n + 4n) です。これを簡略化すると、Sn = n × 5n となり、Sn = 5n² となります。
一般項anを求めるためには、SnとSn-1の差を計算します。
an = Sn – Sn-1
Sn = 5n² の場合、Sn-1は 5(n-1)² です。したがって、一般項anは次のように計算できます。
an = 5n² – 5(n-1)²
この式を展開すると、an = 10n – 5 となります。
(2) Sn = 3 × n × n – n の場合
次に、Sn = 3 × n × n – n という式を考えます。これを簡略化すると、Sn = 3n² – n となります。
同様に、一般項anは次のように求めます。
an = Sn – Sn-1
Sn = 3n² – n の場合、Sn-1は 3(n-1)² – (n-1) です。これを計算すると、an = 6n – 2 となります。
まとめ：数列の一般項の求め方
与えられた和の式から一般項を求めるためには、SnとSn-1の差を計算することが基本です。今回の問題では、次のように求められました。
- (1) Sn = 5n² の場合、一般項 an = 10n – 5
- (2) Sn = 3n² – n の場合、一般項 an = 6n – 2
この方法を使うことで、さまざまな数列の一般項を求めることができます。数列の和の式を適切に扱い、差分を求めることで、数列の各項の具体的な値を計算することが可能になります。
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