行列式の基本とAO、OE行列の行列式についての解説

大学数学

2025.06.13

行列式についての理解を深めるために、まずは基本的な定義から始めましょう。そして、質問にあるような行列式の問題の解き方を解説します。具体的には、行列A（m×m）、単位行列E（n×n）、ゼロ行列Oが与えられたとき、AOやOEの行列式がどのように計算されるのかを説明します。

1. 行列式とは？

行列式とは、行列の性質を示すスカラー値で、行列が持つ特徴的な情報を1つの数値で表します。行列の行列式は、その行列が可逆かどうかを判定するために重要です。可逆行列の場合、行列式はゼロでない値を持ち、非可逆行列の場合、行列式はゼロです。

単位行列Eは対角線上の要素がすべて1で、その他の要素がすべて0の行列です。ゼロ行列Oはすべての要素が0の行列です。これらの行列は、行列演算において特別な性質を持ちます。

まず、行列Aとゼロ行列O、単位行列Eがどのように絡むかを見てみましょう。Aがm×m行列、Eがn×n行列、Oはゼロ行列とします。AOやOEの行列式を求めるためには、まず各行列の性質を理解することが重要です。

特に、行列の積の行列式は、行列式の積として計算できることを考慮に入れます。すなわち、行列Aと行列Oの積であるAOの行列式は、Aの行列式とOの行列式の積として求められます。ゼロ行列Oの行列式は常に0であるため、AOの行列式も0になります。同様に、OEの行列式も0となります。

AOやOEの行列式がゼロになる理由は、ゼロ行列Oが掛かることで行列のランクが下がり、行列式がゼロになるためです。ゼロ行列Oは、すべての要素がゼロであるため、行列式に対して破壊的な影響を与えます。

行列式の計算では、行列の性質を理解することが非常に重要です。AOやOEの行列式がゼロである理由は、ゼロ行列の影響によるものです。これらの基本的な概念を理解することで、さまざまな行列式の計算問題に対処できるようになります。