この問題では、与えられた非同次微分方程式を解く方法を学びます。まず、問題文を確認し、解法のステップを順を追って解説します。
問題の確認と整理
与えられた微分方程式は次の通りです。
x^4y” + 2x^3y’ + y = 1/x^2
これは二階の線形非同次微分方程式です。まず、対応する同次方程式を解いてから、特解を求める方法を考えます。
同次方程式の解法
まず、対応する同次方程式を解きます。
x^4y” + 2x^3y’ + y = 0
この微分方程式を解くために、y = x^r という形で解を仮定します。代入すると、次の特性方程式が得られます。
r(r-1) + 2r + 1 = 0
これを解くと、r = -1 と r = -2 という解が得られます。したがって、同次方程式の解は。
y_h = C1 * x^(-1) + C2 * x^(-2)
非同次方程式の特解を求める
次に、非同次方程式の特解を求めます。
x^4y” + 2x^3y’ + y = 1/x^2
非同次項は 1/x^2 ですので、特解を y_p = A/x^2 と仮定します。
これを代入して特性定数 A を求めると、A = -1/4 となります。したがって、特解は。
y_p = -1/(4x^2)
一般解の導出
同次解 y_h と特解 y_p を足し合わせることで、一般解が得られます。
y(x) = C1 * x^(-1) + C2 * x^(-2) – 1/(4x^2)
まとめ
この問題では、まず同次方程式を解き、その後特解を求めることで非同次微分方程式の解を得ました。最終的に、一般解は次のようになります。
y(x) = C1 * x^(-1) + (C2 – 1/4) * x^(-2)
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