この問題は2階線形微分方程式の一例で、特に定数係数を持たない微分方程式においてよく見られるタイプです。与えられた微分方程式は、解法を考えるために適切なアプローチを取る必要があります。このセクションでは、x^2y” + xy’ + y = x^5の解法をステップバイステップで解説します。
1. 微分方程式の確認
与えられた微分方程式は次のように表されます。
x^2y” + xy’ + y = x^5
この方程式は2階の線形微分方程式で、右辺にxの5乗が含まれているため、特解の解法を用いることが考えられます。
2. 同次方程式の解法
まず、同次方程式
x^2y” + xy’ + y = 0
を解く必要があります。このタイプの方程式は、通常の方法で解くことができます。変数分離法やべき乗法を試みると、y = x^rという解を仮定できます。
この仮定を代入すると、以下のような方程式になります。
r(r – 1)x^r + rx^r + x^r = 0
整理すると、r(r – 1) + r + 1 = 0となります。これを解くと、r = 1とr = -1となります。よって、同次方程式の一般解は次のように表されます。
y_h = C1x + C2/x
3. 特解の求め方
次に、特解を求めます。右辺がx^5であることから、特解の形はy_p = Ax^5と仮定します。これを元の方程式に代入して、Aを求めます。
y_p = Ax^5を代入すると、以下のように計算されます。
x^2(20Ax^3) + x(5Ax^4) + Ax^5 = x^5
これを整理し、Aの値を求めると、A = 1/20となります。したがって、特解は次のようになります。
y_p = (1/20)x^5
4. 一般解の求め方
同次方程式と特解が得られたので、一般解はそれらの和として表されます。
y = y_h + y_p = C1x + C2/x + (1/20)x^5
5. 結論
与えられた微分方程式x^2y” + xy’ + y = x^5の解は、以下のように表されます。
y = C1x + C2/x + (1/20)x^5
この解は、任意の定数C1とC2に依存します。特解は、右辺のx^5の項に関連しており、一般解は同次方程式の解と特解の和として得られました。
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