一次不定方程式の整数解を求める方法と例題解説

一次不定方程式は、整数解を求める問題でよく出題されます。今回は、いくつかの一次不定方程式に対してその整数解を求める方法を解説します。具体的には、式の係数が異なる3つの方程式に対して、どのように解を求めるかを見ていきます。

一次不定方程式とは？

一次不定方程式とは、整数解を持つような線形方程式のことです。一般的な形は、ax + by = c となります。この方程式の解を求める方法は、最大公約数（GCD）や拡張ユークリッドの互除法を使って解くことができます。

一次不定方程式を解く際に重要なのは、右辺の定数cがaとbの最大公約数で割り切れる場合に解が存在することです。それでは、具体的な例を通じて解説していきます。

まず、方程式 4x + 9y = 1 の解を求めます。この場合、最大公約数gcd(4, 9) = 1 ですので、整数解が存在します。

次に、拡張ユークリッドの互除法を使って、4と9の最大公約数を1にする整数解を見つけます。まず、4と9に対してユークリッドのアルゴリズムを適用し、次にその結果から整数解を求めます。

次に、方程式 11x – 7y = 1 を解きます。この場合、最大公約数gcd(11, 7) = 1 ですので、解は必ず存在します。

再び拡張ユークリッドの互除法を使って、11と7の最大公約数を1にする整数解を見つけます。手順としては、まずユークリッドのアルゴリズムを用いて最大公約数を求め、その後に解を求めます。

最後に、方程式 13x + 9y = 4 を解きます。この場合、最大公約数gcd(13, 9) = 1 ですので、整数解が存在します。

拡張ユークリッドの互除法を使って、13と9の最大公約数を求め、その後4を右辺に持つ解を求めます。この問題も手順に沿って解いていくことで、解を求めることができます。

一次不定方程式の解法は、拡張ユークリッドの互除法を使用して解くのが基本です。問題ごとに異なる係数を持つ方程式ですが、最大公約数が1であれば整数解が存在します。各問題を順を追って解くことで、解を求める方法が明確になります。