三次方程式とその導関数に関する判別式の理解

数学の三次方程式に関連する質問です。三次方程式の導関数がf'(x)=0となるxが存在し、なぜその場合にf'(x)の判別式がD≧0となるのかについて解説します。

三次方程式と導関数

三次方程式とは、一般に次の形の方程式です。

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

この方程式の導関数f'(x)を求めると、以下のようになります。

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

導関数f'(x)は、元の関数の傾きを表しており、f'(x)=0となるxは、元の関数が増加から減少に転じる点（またはその逆）を示します。

判別式Dは、二次方程式の解の性質を判断するための式で、次のように定義されます。

D = b² – 4ac

二次方程式が実数解を持つためには、D≧0でなければなりません。三次方程式の場合も、f'(x)が0になるxの解が存在するため、判別式がD≧0である必要があります。

f'(x) = 3ax² + 2bx + c という式の判別式は、元の方程式の解が実数解であるため、D≧0とする必要があります。これにより、f'(x)の解が実数であり、グラフ上で増減を判断できることがわかります。

つまり、三次方程式の導関数の判別式がD≧0であれば、f'(x)が0になる点が実数で存在し、関数の増減が安定していることが確認できるのです。

三次方程式の導関数f'(x)=0となるxが存在する理由と、その判別式がD≧0であることについて理解しました。f'(x)が実数解を持つため、判別式Dは必ず0以上であり、解の性質を正しく判定できることが確認できました。