二次関数の問題では、グラフと直線との交点や点の距離を求める問題がよく出題されます。今回は、2次関数y = ax² + 2ax + a + 6（a ≠ 0）のグラフが2点P, Qで交わり、その線分PQの長さが2√6になるような定数aの値を求める問題です。この記事では、丁寧に解法を解説します。
問題の整理と条件の確認
与えられた関数はy = ax² + 2ax + a + 6です。まず、この関数のグラフが2点PとQで交わり、その交点間の距離が2√6になるようなaの値を求めます。
交点の座標を求めるためには、関数と直線の交点を求める必要があります。交点の座標は、yの値が同じになるxの値を求めることによって得られます。今回はグラフが交わる点PとQの距離が2√6であるという条件が与えられているので、その距離を使ってaの値を求める方法を考えます。
交点の座標を求める方法
交点の座標を求めるために、まずは2次関数の判別式（D）を使います。2つの交点が存在するためには、判別式が正の値である必要があります。
まず、与えられた式y = ax² + 2ax + a + 6が0になるようなxの値を求めます。つまり、ax² + 2ax + (a + 6) = 0となります。これは2次方程式であり、この方程式を解くことでxの値を求めることができます。
判別式を使った解法
次に、この2次方程式の判別式を求めます。2次方程式ax² + bx + c = 0の判別式Dは、D = b² – 4acで求められます。ここではa = a, b = 2a, c = a + 6ですので、判別式Dは次のように計算できます。
D = (2a)² – 4(a)(a + 6) = 4a² – 4a(a + 6) = 4a² – 4a² – 24a = -24a
判別式Dが正であるためには、-24a > 0が必要です。したがって、a < 0である必要があります。
交点間の距離を求める
次に、交点間の距離を求めます。交点PとQのx座標の差がそのまま距離になります。この距離が2√6であることが条件です。2次方程式の解の公式を使って、交点PとQのx座標を求め、その差を計算します。
2次方程式の解の公式は次のように与えられます。
x = (-b ± √D) / 2a
ここで、b = 2a, D = -24a, a = aですので、xの解は次のようになります。
x = (-2a ± √(-24a)) / 2a = (-2a ± 2√(6a)) / 2a = -1 ± √(6/a)
したがって、x座標の差は、(√(6/a) – (-√(6/a))) = 2√(6/a)となります。この距離が2√6であるという条件が与えられているので、次の式が成立します。
2√(6/a) = 2√6
両辺を2で割ると、√(6/a) = √6となり、両辺を2乗すると、6/a = 6となります。
したがって、a = 1となります。
まとめ
この問題では、与えられた2次関数のグラフが2点PとQで交わり、その交点間の距離が2√6になるような定数aの値を求める方法を解説しました。最終的に、a = 1が答えとなります。判別式や解の公式を使いながら、数学的な方法で計算を進めることができました。
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