この記事では、微分方程式に関する質問に対する解説を行います。特に、与えられた微分方程式 (x-1)dy/dx = 2(y-3) の解法過程と、最終的な解 y = (x-1)^2 + 3 において y = 3 を除かない理由について詳しく説明します。微分方程式の基本的な解法を理解することは、高校数学の重要なステップです。
問題の確認と解法のステップ
まず、微分方程式 (x-1)dy/dx = 2(y-3) を解くために、変形していく過程を見てみましょう。与えられた方程式は、dy/2(y-3) = dx/(x-1) という形に変形されます。この形に変形する理由は、方程式を両辺で積分するためです。積分するときに、y = 3 のような特別な点を除外しない理由について理解することが重要です。
積分の手順とy=3の扱い
積分を行うとき、dy/(2(y-3)) と dx/(x-1) をそれぞれ積分していきます。この積分の結果、y = (x-1)^2 + 3 という解を得ることができます。この際、y = 3 という解を除外しない理由は、積分の過程で得られた解が連続的に成立するためです。
ここで注意しなければならないのは、y = 3 という値が解に含まれる場合でも、微分方程式自体がその解を含む範囲内で有効であるという点です。この解は、y = 3 の点で特異点を持つわけではなく、方程式が成立する領域内で十分に意味があります。
y = 3 を除かない理由
解 y = (x-1)^2 + 3 は、y = 3 の点でも成立します。具体的に言うと、y = 3 のとき、x = 2 という解が得られます。この時、微分方程式 (x-1)dy/dx = 2(y-3) の両辺がゼロになりますが、これは依然として成立する解であり、除外する必要はありません。
このように、微分方程式における解は、全ての値に対して連続的に成立するため、特別な条件下（y = 3 の場合）で解を除外する必要はないのです。
実際の例と連続性の理解
実際の例として、微分方程式 (x-1)dy/dx = 2(y-3) を解く過程を再確認してみましょう。積分後に得られる y = (x-1)^2 + 3 という式は、すべての x に対して成立します。このように、特に y = 3 のときに解を除外する理由は存在せず、解が連続的に適用されるため、除外せずそのまま進めます。
まとめ
微分方程式の解法において、y = 3 という特定の点を除外しない理由は、解が連続的に成立するためです。解 y = (x-1)^2 + 3 は、y = 3 の場合でも意味があり、微分方程式の両辺がゼロになることから、除外する必要がありません。このような連続性を理解することが、微分方程式を正しく解くために重要です。
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