この記事では、lim x→0 {(1+x)^(1/x) – e}/x のリミット問題を解く方法を解説します。この問題は、指数関数や微分に関する重要な問題です。特に、(1+x)^(1/x) のリミットを理解することで、e（ネイピア数）の性質を深く学ぶことができます。
問題の理解と式の整理
まず、与えられたリミット式を確認しましょう。lim x→0 {(1+x)^(1/x) – e}/x は、(1+x)^(1/x) という式が、x = 0 においてどのような挙動を示すかを求める問題です。この式は、x が 0 に近づくときの挙動を調べるためにリミットを使います。
式を整理すると、(1+x)^(1/x) は e に収束することが知られています。この点を踏まえて、リミットの計算を進めます。
(1+x)^(1/x) のリミットの基本
まず、(1+x)^(1/x) のリミットについて理解しましょう。x が 0 に近づくと、(1+x)^(1/x) は e に収束します。この事実を理解するためには、(1+x)^(1/x) の挙動を微分やテイラー展開を使って調べることが有効です。
テイラー展開を使うと、(1+x)^(1/x) の近似式を求めることができます。これを使うことで、リミットの計算がしやすくなります。
リミットの計算手順
次に、lim x→0 {(1+x)^(1/x) – e}/x のリミットを計算する方法を見ていきましょう。まずは、(1+x)^(1/x) のリミットが e に収束することを知っているので、この式は e からの差を取っていることがわかります。
リミットを計算するために、まず分子 (1+x)^(1/x) – e を微分し、その後に x → 0 における挙動を調べます。このアプローチを使うことで、リミットの値を求めることができます。
微分を用いた解法
リミットを計算するためには、微分を使うのが効果的です。式 {(1+x)^(1/x) – e}/x の分子を微分して、x → 0 のときの挙動を調べます。この微分を行うことで、リミットの値が明確になります。
微分の結果、lim x→0 {(1+x)^(1/x) – e}/x のリミット値は 1/2 であることがわかります。このように、微分を使ってリミットを計算する方法は、非常に重要なテクニックです。
まとめ
lim x→0 {(1+x)^(1/x) – e}/x のリミット問題を解くためには、(1+x)^(1/x) の挙動を理解し、微分を使って計算を進めることが重要です。最終的に、リミットの値は 1/2 となります。これにより、指数関数の性質や微分の技法を活用した問題解決の方法が学べます。
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