今回の問題では、平行六面体の体積を求める問題です。与えられた条件に基づいて、その体積Vの取りうる範囲を求める方法を解説します。平行六面体の体積を求めるために必要な数学的アプローチを段階的に説明していきます。
問題の整理
平行六面体OABC-DEFGの体積Vを求める問題です。与えられた条件は以下の通りです。
- OA = 1, OC = 2, ∠AOC = π/2 (条件 i)
- OF⊥平面ACD (条件 ii)
これらの条件を使って、体積Vの取りうる範囲を求める方法を解いていきます。
ステップ1：ベクトルの定義と計算
平行六面体の体積Vは、3つのベクトルの外積を使って求めることができます。具体的には、ベクトルOA、OC、OFを使って以下の式を使います。
V = |(OA × OC) ・ OF|
まず、ベクトルOA、OC、OFを定義します。OAは、長さ1のベクトル、OCは長さ2のベクトルで、∠AOC = π/2の角度を持っています。OFは、平面ACDに垂直な方向を持つベクトルです。
ステップ2：ベクトルの外積と内積
次に、ベクトルの外積と内積を計算します。ベクトルOAとOCの外積を求めると、OA × OC = 2となります。この値を使って、ベクトルOFとの内積を計算します。OFの方向は平面ACDに垂直であるため、OFの大きさを計算する必要があります。
OFの大きさが与えられた場合、その値を使って最終的な体積を求めることができます。
ステップ3：取りうる範囲の決定
体積Vの取りうる範囲を求めるために、OFの大きさと方向によって決まる体積の範囲を計算します。OFの大きさが変化することで、体積の値も変動します。具体的な計算を行うことで、この範囲を求めることができます。
まとめ
この問題は、平行六面体の体積を求めるためにベクトルの外積と内積を用いる問題です。与えられた条件に基づいて、体積Vの取りうる範囲を計算することで、数学的な問題解決の方法を学ぶことができます。
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