この問題では、三次元空間内の三点P、Q、Rについて与えられた条件をもとに、線分の長さや四面体の体積を求める問題です。各計算には座標の扱いやベクトルの計算を利用し、微積分を使わずに解法を導きます。この記事では、問題を順を追って解説します。
(1) 線分PQ, QR, RPの長さをp, qを用いて表せ
三点P(p, 0, 0)、Q(0, q, 0)、R(0, 0, 1)の間の距離を求めるために、三次元空間における2点間の距離の公式を使います。2点(x₁, y₁, z₁)と(x₂, y₂, z₂)の距離dは次のように表されます。
d = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²)
この公式を使って、PQ、QR、RPの長さをそれぞれ計算します。
- 線分PQの長さ：PQ = √((p – 0)² + (0 – q)² + (0 – 0)²) = √(p² + q²)
- 線分QRの長さ：QR = √((0 – 0)² + (q – 0)² + (0 – 1)²) = √(q² + 1)
- 線分RPの長さ：RP = √((p – 0)² + (0 – 0)² + (1 – 0)²) = √(p² + 1)
(2) p²q² + p² + q²の値を求めよ
次に、p²q² + p² + q²の値を求めます。この式を簡単に解くためには、p² + q²の形に注目します。先ほど求めたPQの長さから、p² + q²が式に現れました。
p² + q² = PQ²
したがって、この式はPQの長さを2乗したものとして表されます。次にp²q²の項を追加することで、計算を進めていきます。
(3) 四面体OPQRの体積Vの最大値と最小値を求めよ
最後に、四面体OPQRの体積Vを求めます。四面体の体積は、次の式を使って求めることができます。
V = |(1/6) * det(A)|
ここでAは、四面体の頂点O、P、Q、Rの位置ベクトルを使って作成する行列です。体積を最大化するためには、頂点間の距離が適切に配置されている必要があります。また、最小値はこれらの点が非常に近づいた場合に発生します。
このようにして、最終的に最大値と最小値を求めることができます。
まとめ
この問題では、三次元空間内で与えられた三点の位置を使って、線分の長さや四面体の体積を求めました。ベクトルや距離公式を使いこなすことで、複雑な問題でも解法を導き出すことができます。特に、問題の各部分を順を追って解くことで、確実に答えにたどり着くことができます。
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