微積分を用いた橋の上から落とした小球の速度計算

橋の上から静かに小球を落としたとき、地面に着地するまでにかかる時間とその過程を微積分を使って解析する問題です。問題では、重力加速度を9.8 m/s²とし、2秒後に地面に着地したとき、橋の高さの中央を通過する際の速度を求めるものです。

問題の整理と基本方程式

まず、物体が落下する運動は自由落下とみなせます。自由落下の運動方程式は、次のように表されます。

v(t) = v₀ + at

ここで、v(t)は時刻tにおける速度、v₀は初速度（この場合、静かに落とすのでv₀ = 0）、aは重力加速度（a = 9.8 m/s²）です。

時間と落下距離の関係

次に、物体が落下する高さy(t)は、以下の式で表されます。

y(t) = v₀t + (1/2)at²

この式において、v₀は初速度、aは重力加速度、tは経過時間です。静かに落とすのでv₀は0となり、式は以下のように簡略化されます。

y(t) = (1/2)at²

これにより、t = 2.0秒での落下距離を計算することができます。

橋の高さの中央を通過する時の速度

問題の解決に向けて、まず橋の高さhを求めます。t = 2.0秒後に地面に着地することから、y(2.0) = hとして計算できます。

h = (1/2) * 9.8 * (2.0)² = 19.6 m

次に、橋の高さの中央を通過する際の時刻t₁は、落下距離の半分、すなわちh/2 = 9.8mに到達する時点です。

式を使ってt₁を求めると。

y(t₁) = (1/2) * 9.8 * t₁² = 9.8

これを解くと、t₁ = 1.43秒となります。

中央を通過する時の速度

t₁ = 1.43秒の時刻での速度v(t₁)は、速度の式v(t) = atに基づいて計算できます。

v(1.43) = 9.8 * 1.43 ≈ 14.0 m/s

したがって、橋の高さの中央を通過する時の速度はおおよそ14.0 m/sです。

まとめ

橋の上から小球を静かに落とす問題において、微積分を用いて物体の運動を解析しました。まず、自由落下の運動方程式を用いて、物体が落下する高さや速度を計算しました。最終的に、橋の高さの中央を通過する時の速度は約14.0 m/sとなります。このように、微積分を使うことで、物体の運動をより詳細に理解することができます。