高校数学Aの問題解説：袋Aから白玉を取り出す確率を求める方法

高校数学Aの問題でよく出題されるテーマの一つが、「条件付き確率」です。今回は、袋Aと袋Bから玉を取り出すシナリオを通じて、条件付き確率をどのように求めるかを解説します。問題文に従って、白玉が取り出された際、それが袋Aからのものだった確率を求めます。

問題の理解と整理

問題文によると、袋Aには白玉3個、赤玉2個が入っており、袋Bには白玉4個、赤玉2個が入っています。また、さいころを1回投げて、1の目が出た場合には袋Aから、1以外の目が出た場合には袋Bから玉を1個取り出します。

取り出した玉が白玉だったとき、それが袋Aからのものである確率を求めるという問題です。この問題は、条件付き確率の問題です。

条件付き確率の計算方法

条件付き確率の公式は次のように表されます。

P(A|B) = (P(A ∩ B)) / P(B)

ここで、P(A|B)はBが起こったときにAが起こる確率です。問題では、「白玉が取り出された」という事象がB、そして「それが袋Aからのものである」という事象がAです。したがって、P(A|B)は、「白玉が袋Aから取り出された確率」となります。

事象A、Bの確率を求める

まず、P(A)とP(B)を求めます。P(A)は、さいころの目が1で袋Aから玉を取り出す確率です。さいころを1回投げて、1の目が出る確率は1/6です。

P(B)は、「白玉が取り出される確率」です。袋Aから白玉が出る確率は、袋Aの玉の中で白玉が3個なので、P(A) = 3/5です。同様に、袋Bから白玉が出る確率は、袋Bの玉の中で白玉が4個なので、P(B) = 4/6です。

P(A ∩ B)の計算

次に、P(A ∩ B)は、「白玉が袋Aから取り出される確率」を求めます。この確率は、さいころの目が1のときに袋Aから白玉を取り出す確率です。P(A ∩ B) = (1/6) × (3/5) = 1/10です。

条件付き確率の最終計算

最後に条件付き確率P(A|B)を求めます。P(A|B) = (P(A ∩ B)) / P(B)であり、P(A ∩ B)は1/10、P(B)は白玉が取り出される確率で、(1/6 × 3/5) + (5/6 × 4/6)となり、P(B) = 7/15です。

P(A|B) = (1/10) / (7/15) = 3/7です。

まとめ

したがって、白玉が取り出されたとき、それが袋Aからのものである確率は3/7です。このように、条件付き確率を用いて、与えられた状況から必要な確率を計算することができます。問題を解く際には、まず事象を整理し、確率の公式を正しく適用することが大切です。