円と直線の共有点・領域の包含に関する問題の解法

この問題では、円と直線の共有点の範囲や、2つの領域の包含に関する数学的な問題が出題されています。この記事では、問題の各部分を順を追って解説し、どのようにして解を求めるかを具体的に説明します。

問題設定の確認

問題は、円と直線、または領域の関係を求める問題です。まずは、問題の式を理解しましょう。

円の方程式は「x^2 + y^2 = 5」で、直線の方程式は「y = 2(x – a) + k」です。また、領域DとEが与えられており、DがEに含まれるkの範囲を求める問題もあります。これらの問題を順番に解いていきます。

まず、円と直線が共有点を持つ条件を求めます。円の方程式は「x^2 + y^2 = 5」であり、直線の方程式は「y = 2(x – a) + k」です。これを連立方程式として解きます。

1. 直線の方程式を円の方程式に代入します。

2. 代入後の式が実数解を持つための条件を求めます。この条件が、直線と円が交わるためのkの範囲になります。

具体的に、a = 1の場合にkの範囲を求めると、kの範囲が決まります。計算を行うと、直線と円が交わるためのkの範囲がわかります。

次に、領域Dと領域Eの包含関係を求めます。領域Dは「x^2 + y^2 ≤ 5」、領域Eは「y < 2(x - 1) + k」と与えられています。これらの領域が重なっている範囲、つまりDがEに含まれる条件を求めます。

1. 領域Dと領域Eが交わる条件を求めるため、2つの式を連立させます。

2. 連立方程式を解くことで、領域Dが領域Eに含まれるkの範囲を求めることができます。

この計算を行うことで、kの範囲が明確になります。

最後に、a = 0の場合の領域Dと領域Eの包含関係を求めます。ここでは、領域Dが「x^2 + y^2 ≤ 5」、領域Eが「y < 2x + k」と与えられています。

1. 領域Dと領域Eが交わる条件を求め、領域Dが領域Eに含まれるkの範囲を求めます。

2. この計算を行い、kの範囲を求めます。

この問題では、円と直線の共有点、または領域の包含を求める方法を学びました。問題を解くためには、連立方程式を使って交点や包含の条件を導き、範囲を求めることが重要です。計算を繰り返すことで、kの範囲を求めることができます。数式に慣れ、問題に取り組むことで、より理解が深まるでしょう。