ベクトル方程式を使って点AとBを通る直線を求める方法

物理の問題において、原点から2つの点AとBに至るベクトルを使って、点AとBを通る直線を表すベクトル方程式を求める問題はよく出題されます。この記事では、ベクトル方程式を使ってこの直線の方程式をどのように導き出すかについて解説します。

1. ベクトル方程式の基本

ベクトル方程式は、ある点と直線上の他の点を結ぶベクトルの関係を表す方程式です。直線のベクトル方程式は、出発点（この場合は原点）からその直線上の任意の点までのベクトルを用いて表現されます。

直線の方程式は通常、始点から終点に向かうベクトルをパラメータで表す形になります。

2. 問題の設定

問題では、原点から点AとBに至るベクトルがそれぞれra、rbと与えられています。点AとBを通る直線を表すベクトル方程式を求めるためには、まずその直線上の任意の点Pを通るベクトルを求める必要があります。

この直線を通る任意の点Pは、原点から点Aまでのベクトルraを基準にして、点Bから点Aに向かうベクトル（rb – ra）を加えることで得られます。

3. 直線のベクトル方程式

直線のベクトル方程式は次のように表されます。

P = ra + t(rb – ra)

ここで、tはパラメータで、t = 0のとき点A、t = 1のとき点Bを通ります。この式により、直線上の任意の点Pを求めることができます。

4. 実際の計算と応用

実際の問題では、具体的な値が与えられた場合、その値を代入して直線上の点Pの座標を求めることができます。また、直線のベクトル方程式を使うことで、点AとBを通る直線がどのように配置されているかを視覚的に理解することができます。

まとめ

ベクトル方程式を使って点AとBを通る直線を求める方法は、まず直線を通る任意の点Pを、原点から点Aまでのベクトルraと点Bから点Aまでのベクトルrb – raを使って表現します。その結果、直線の方程式はP = ra + t(rb – ra)として求めることができます。この方法は、物理学や数学の問題で非常に役立つ基本的なテクニックです。