数列I[n]の極限と収束についての初等的な証明方法

数列I[n]が与えられ、lim[n→∞]nI[n]が存在し、自然対数の底eに収束することを初等的に示す方法について解説します。この問題を解決するためには、I[n]の定義を利用し、数列の極限を求める過程を段階的に進めていきます。

I[n]の定義と計算

数列I[n]は次のように定義されます。

I[n] = ∫[0,1](x^n)e^x dx

この式において、x^nはxのn乗を意味し、e^xは自然対数の底eのx乗を意味します。この定積分を求めることによって、I[n]の値を計算できます。

次に、lim[n→∞]nI[n]を求めます。まず、I[n]の定義を基にして、積分の評価を行い、その後nが無限大に近づくときの挙動を調べます。

具体的には、I[n]の値はnが大きくなるにつれて、積分の結果が収束することを確認します。ここで重要なのは、e^xの増加速度がx^nに比べて急激であり、nが大きいときのx^nの影響を理解することです。

nI[n]が収束する理由を説明します。まず、数列I[n]が示す積分の結果が、nが増加することでどのように変化するかを調べます。数値解析において、積分の結果はnに対して特定の収束挙動を示すことがわかります。

この収束は、関数e^xの性質と、x^nが急激にゼロに近づく特性に基づいています。その結果、nI[n]は最終的にeに収束することが確認できます。

したがって、lim[n→∞]nI[n]がeに収束することが初等的な方法で証明されました。積分の性質と数列の挙動を理解することで、この結果を導くことができることが確認できました。