f(x, y) = (x² + y²) / x の収束と発散について

この問題では、f(x, y) = (x² + y²) / x の収束と発散を調べる方法を解説します。具体的には、(x, y) → (0, 0) のときの極限値を求めますが、ヒントとして y² / x = M と置く方法を用います。収束する場合はその極限値、発散する場合はその理由についても説明します。

関数の形を確認する

与えられた関数 f(x, y) = (x² + y²) / x は、x と y に依存しています。x = 0 の場合、この関数は定義されないため、x が 0 に近づくときに f(x, y) の挙動を確認する必要があります。

まず、関数を整理します。f(x, y) = (x² + y²) / x は次のように分けることができます。

f(x, y) = x + y² / x

y² / x = M と置く

先生がヒントとして教えてくれたように、y² / x = M と置いてみましょう。この変数変換により、関数の挙動をより簡単に扱えるようになります。

y² / x = M という式を使うと、f(x, y) は次のように表されます。

f(x, y) = x + M

収束と発散の調べ方

ここで、x が 0 に近づくとき、関数 f(x, y) はどうなるかを調べます。

まず、x が 0 に近づくとき、x は 0 に近づくが、M は一定であると仮定します。すると、f(x, y) = x + M の式で、x → 0 のとき、f(x, y) → M となります。よって、f(x, y) は収束し、極限値は M です。

発散の場合の考え方

しかし、この結果はyとxの関係が適切である場合に限ります。もし、y² / x が無限大に発散するような場合、f(x, y) も発散します。たとえば、y² / x が非常に大きくなると、f(x, y) の値は無限大に近づくことになります。

まとめ

関数 f(x, y) = (x² + y²) / x の収束と発散について、x → 0, y → 0 のときの挙動を調べると、y² / x = M と置いた場合、f(x, y) は x が 0 に近づくときに M に収束します。しかし、y² / x の値が無限大に発散する場合、f(x, y) も発散するため、収束・発散の判断には y と x の関係が重要であることがわかります。