実解析における可測関数の証明: f(x) = 1/x (x≠0), f(x) = 0 (x=0) の可測性の示し方

本記事では、実解析の問題として提示された関数f(x) = 1/x (x≠0), f(x) = 0 (x=0)が可測であることを証明する方法を解説します。まずは、この問題における可測性の概念を理解し、実際の証明手順を見ていきましょう。

可測関数とは？

可測関数とは、定義される測度空間において、その関数が可測集合を逆像として持つ場合の関数を指します。特に実数値関数の場合、Borel集合に対する逆像がBorel集合であることが条件となります。

可測性を確認するためには、関数がBorel集合に対して適切な振る舞いをすることを示す必要があります。

関数fは、実数全体を定義域とした関数で、x=0の時に特別な値0を取りますが、それ以外のxについては1/xという式で定義されます。x≠0の範囲では、標準的な有理関数です。問題の本質はx=0という点にあります。

実際にこの関数が可測であることを確認するためには、特にx=0の周辺で関数の挙動を理解し、その部分が可測性にどのように影響するかを考える必要があります。

この関数が可測であるかを示すためには、まず以下の手順で進めます。

この関数が可測であるかを示すためには、具体的に逆像がBorel集合であることを確認します。具体的には、x=0の特異点を除く部分でf(x)が通常の有理関数であるため、可測集合の逆像を持つことを確認します。

x=0では関数が0に定義されていますが、これは「無限大に近づく」ときの挙動とは異なり、関数が極端な不連続性を持つことはありません。このため、この点での可測性に問題はありません。関数f(x)はBorel集合の逆像を取るため、x=0を含む範囲でも可測性は保たれます。

x≠0の部分でも、関数f(x)は連続であり、逆像はBorel集合であるため、この部分でも可測です。

結論として、関数f(x) = 1/x (x≠0), f(x) = 0 (x=0)はその定義に従って可測であることが確認できます。x=0の点を含む部分での不連続性を含みつつも、Borel集合への逆像が成立するため、この関数は可測関数です。