三角形ARQと三角形BCQが合同であることの証明

問題では、鋭角三角形ABCにおいて、頂点Aから辺BCに垂線を引き、さらに頂点Bから辺ACに垂線を引いています。そして、線分APと線分BQが交わる点Rで、三角形ARQと三角形BCQが合同であることを証明することが求められています。この問題を解くためには、合同条件に基づいて証明を進めていきます。

1. 問題の設定

鋭角三角形ABCがあり、∠BAC=45°とされています。頂点Aから辺BCに垂線を引いて交点P、頂点Bから辺ACに垂線を引いて交点Qを得ます。次に、線分APと線分BQが交わる点をRと定義し、三角形ARQと三角形BCQが合同であることを証明します。

三角形ARQと三角形BCQが合同であることを証明するためには、次の条件を満たす必要があります。

ここでは、辺の長さや角度の関係を利用して、合同条件を満たすことを示します。

まず、AP = BQであることを確認します。なぜなら、APとBQはそれぞれ頂点AとBから垂直に引かれた線分であり、垂線の長さは常に等しいからです。

次に、AR = BCであることを確認します。これは、三角形ARQと三角形BCQの対応する辺が直角三角形の特性を持つためです。

次に、対応する角度が等しいことを示します。まず、∠ARQ = ∠BCQであることがわかります。これは、角度が垂直に交わるため、各角度が同じ大きさであるからです。

また、∠QAR = ∠QBCも等しいです。これも同様に、三角形の内角の性質に基づいています。

上記で示したように、三角形ARQと三角形BCQは対応する辺の長さと角度が等しいため、SSS（辺辺辺）またはAAS（角角辺）による合同条件を満たします。したがって、三角形ARQと三角形BCQは合同であると証明できます。

この問題では、三角形ARQと三角形BCQが合同であることを、対応する辺の長さと角度が等しいことを示すことで証明しました。合同条件を利用することで、三角形がどのように等しい性質を持つかを明確に示すことができました。