この記事では、座標平面上で点Pを回転させて点Qを求める問題を解説し、特にx^2 + y^2 = 40がどこから出てきたのかについて詳しく説明します。
問題の概要
問題は、点Pを原点Oを中心に2π/3だけ回転させた結果、点Qの座標が(-6, 2)であるとき、点Pの座標を求めるものです。ベクトルを使った解法を用いて、回転の数学的な操作を明確に示すことができます。
ベクトルを使った解法のステップ
点Pの座標を(x, y)とし、点Pを原点Oを中心に2π/3だけ回転させた後の点Qの座標が(-6, 2)であるという条件が与えられています。回転行列を使って点Pの座標を回転させる方法を説明します。
点Pの回転後の座標は、回転行列を使って次のように表すことができます。
(x’, y’) = (x cos(θ) – y sin(θ), x sin(θ) + y cos(θ))
ここで、θは回転角度で、今回は2π/3です。この式を使って、点Pの座標を回転させ、点Qの座標が(-6, 2)であることを満たすように計算します。
x^2 + y^2 = 40が出てくる理由
さて、x^2 + y^2 = 40という式がどこから出てきたのかについてですが、この式は点Pの位置を求める過程で出てきます。点Pと原点との距離は、座標(x, y)の平方和、つまり√(x^2 + y^2)で求められます。
回転前の点Pの座標を(x, y)としたとき、回転後の点Qの座標が(-6, 2)であるため、点Pと点Qの間の距離が一定であるという条件を使うと、x^2 + y^2 = 40という式が導かれます。具体的には、点Pと点Qの距離が等しいという条件を使って、点Pの座標を求めるためにx^2 + y^2 = 40が必要になります。
計算の実例
具体的には、点Qの座標(-6, 2)から点Pの座標(x, y)を計算するために、回転行列を適用し、x^2 + y^2 = 40の関係式を使って点Pの位置を特定します。この過程では、回転後の座標と距離の計算が重要になります。
まとめ
この記事では、点Pを原点Oを中心に回転させた結果、点Qの座標が(-6, 2)であるという問題について解説しました。特に、x^2 + y^2 = 40がどこから出てきたのかを説明し、この式が点Pの位置を求めるための重要な手がかりであることを理解しました。ベクトルや回転行列を使って座標を求める方法を実践的に学ぶことができました。
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