任意の整数の2乗を3で割った余りは必ず0または1であることの証明

整数の性質に関する問題は、数論の基本的なテーマの一つです。この問題では、任意の整数nに対して、n²を3で割った余りが0または1であることを示す必要があります。今回は、この証明を詳しく解説します。

問題の設定

まず、問題の条件を整理しましょう。nは任意の整数とします。n²を3で割った余りが0または1であることを示すことが目標です。整数nを3で割った余りは、0, 1, 2の3つの可能性があります。この3つの場合について、n²を3で割った余りを調べてみます。

nが3で割り切れる場合、つまりnが0で割り切れる場合は、n = 3k (kは整数)と表せます。このとき、n²は次のようになります。

n² = (3k)² = 9k² = 3(3k²)。このように、n²は3で割り切れるので、n²を3で割った余りは0です。

次に、nを3で割った余りが1の場合を考えます。このとき、nはn = 3k + 1 (kは整数)と表せます。n²は次のようになります。

n² = (3k + 1)² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k² + 2k) + 1。したがって、n²を3で割った余りは1になります。

最後に、nを3で割った余りが2の場合を考えます。このとき、nはn = 3k + 2 (kは整数)と表せます。n²は次のようになります。

n² = (3k + 2)² = 9k² + 12k + 4 = 3(3k² + 4k + 1) + 1。したがって、n²を3で割った余りは1になります。

以上の3つのケースを調べた結果、任意の整数nについて、n²を3で割った余りは、0または1のいずれかであることが分かりました。具体的には、nが3で割り切れる場合は余りが0、nが3で割った余りが1または2の場合は余りが1となります。このことから、問題の条件が満たされることが証明されました。