関数y=2x+√(x²-1)の増減表を作成する際に、xの範囲がどうなるのか、また定義域の扱い方について疑問に思うことがあります。この記事では、増減表を作成するためのxの範囲について詳しく解説し、定義域の考え方を理解するためのポイントを説明します。
関数y=2x+√(x²-1) の定義域
まず、この関数の定義域について確認しましょう。関数y=2x+√(x²-1)は、平方根の中身であるx²-1が0以上でなければならないため、x²-1 ≥ 0となります。
この式を解くと、x² ≥ 1となり、xの範囲は|x| ≥ 1となります。つまり、xは-∞ < x ≤ -1 または 1 ≤ x < ∞という範囲に制限されます。このように、関数が定義されるためには、xが-1以下または1以上でなければなりません。
増減表の作成とxの範囲
増減表を作成する際には、関数の定義域を考慮して、適切なxの範囲で増減を調べる必要があります。定義域が|x| ≥ 1であるため、xの値は-∞ < x ≤ -1 または 1 ≤ x < ∞に限られます。
そのため、増減表においてxの範囲は-∞から-1までと、1から∞までの2つの範囲に分けて扱うことになります。質問者が示したように、「x|(-∞)⋯-2√3/3⋯-1⋯1⋯(∞)」とするのは誤りで、xの範囲は実際にはこのようには書きません。
増減表を作成する際の注意点
増減表を作成する際のポイントは、まず関数の導関数を求めて、増減を調べることです。y=2x+√(x²-1)の場合、まず導関数を計算して、増加と減少を判断します。
また、関数の定義域において、xが-1または1のときに関数の値を確認して、境界での挙動をチェックすることも重要です。増減表を正しく作成するためには、これらの確認が必要です。
まとめ
y=2x+√(x²-1) の増減表を作成する際、まずは関数の定義域をしっかりと確認することが重要です。xの範囲は|x| ≥ 1であり、増減表を作成する際には、この定義域に基づいて適切に増減を判断します。質問者のようにxの範囲を誤って記述しないように注意し、正しい範囲で増減表を作成することが必要です。
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