実数α、β≠0についての最大値・最小値の求め方

「実数α、β≠0について(1+α+β)/(1+α²+β²)の最大値・最小値を求めよ」という問題を解くための方針と解法について詳しく解説します。

1. 問題の理解と式の整理

この問題では、与えられた式 (1+α+β)/(1+α²+β²) の最大値・最小値を求めます。まず、式におけるαとβが無関係であるため、一方を固定することで問題を簡単化できるかもしれません。まずは式をしっかりと整理し、分析を行いましょう。

αとβは無関係に見えますが、片方を固定してみるアプローチを取るのも一つの方法です。この方法では、まずはβを定数と考えた場合に、αに関する最大値・最小値を求めることにします。

次に、αに関してこの式を微分し、極値を求めます。具体的には、(1+α+β)/(1+α²+β²) をαで微分し、その微分が0となる点を求めていきます。その後、得られたαの値を式に代入し、最大値や最小値を求めます。

最後に、微分法を使って求めた解が本当に最大値・最小値を示しているかを検証します。αまたはβの値によって結果がどのように変化するのかを分析し、最終的な最大値・最小値を確認します。

今回の問題では、αとβを無関係としつつ、片方を固定して式を簡略化する方法が有効でした。微分を用いて最大値・最小値を求めることができ、問題を解決することができました。数学的なアプローチを適切に使うことで、複雑な問題も効率よく解けます。