数学の組み合わせと立方体の色塗り問題の解法

このページでは、数学の組み合わせ問題と立方体の色塗りに関する問題を解説します。問題Iと問題IIを取り上げ、どのようにして解くのかを具体的に説明します。

問題I: 果物の買い方の組み合わせ

問題Iでは、柿、りんご、みかんの3種類の果物から10個を選ぶという組み合わせの問題です。次の2つのケースについて解いていきます。

この場合、3種類の果物のうち、各果物を買う個数が0個以上であればよいので、整数の非負解を求める問題になります。これは、組み合わせの問題であり、次のように計算できます。

式としては、(x1 + x2 + x3 = 10) となり、ここでx1, x2, x3はそれぞれ柿、りんご、みかんの購入個数を示します。非負整数解の数は、次のように求めます。

計算式： (10 + 3 - 1)C(3 - 1) = 12C2 = 66

したがって、買い方の通り数は66通りです。

こちらは、各果物を1個以上買うという条件が追加されたため、まず各果物に1個ずつ割り当てた後、残りの7個を自由に割り振ります。つまり、(x1 + x2 + x3 = 7) という式に変換され、再び整数の非負解を求めます。

計算式： (7 + 3 - 1)C(3 - 1) = 9C2 = 36

したがって、この場合の買い方の通り数は36通りです。

問題IIでは、立方体の各面に色を塗る方法を求めます。立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなすという条件があるため、回転対称性を考慮しながら解きます。

6面それぞれに異なる色を塗る場合、まず6色を選んで各面に塗る方法を考えます。しかし、回転させた場合に一致する塗り方が同じとみなすため、対称性を考慮する必要があります。

立方体の回転対称性を考慮すると、塗り方の通り数は次のように求められます。

計算式： 6! / 24 = 720 / 24 = 30

したがって、異なる6色を使って塗る方法は30通りです。

5色を使って塗る場合、1つの面には2色が使われることになります。この場合も回転対称性を考慮して、同じ色が使われる面が同じものとしてカウントされます。

計算式は次のように求められます。

計算式： 6! / (24 * 2) = 720 / 48 = 15

したがって、異なる5色を使って塗る方法は15通りです。

問題Iでは果物の買い方の通り数を求めるために、組み合わせの公式を使用しました。問題IIでは立方体の色塗りについて、回転対称性を考慮しながら方法の通り数を求めました。どちらも数学的な発想を用いることで、効率的に解答を得ることができました。