数学の問題で「a > 1, n が自然数のとき、a^(1/n) > 1 となることを証明してほしい」という問題がよく出題されます。ここでは、この問題をどのように証明するかをわかりやすく解説します。具体的なステップを踏んで、この不等式が成り立つ理由を理解していきましょう。
問題の整理
まず、問題の内容を整理します。与えられた条件は、a > 1 かつ n が自然数（つまり、1, 2, 3, … の整数）であるというものです。そして、この条件下で a^(1/n) > 1 が成り立つことを証明する必要があります。
この問題は、指数関数の性質と不等式を使って解くことができます。具体的な証明のアプローチを次に説明します。
指数関数の基本的な性質
指数法則を使うために、まずは a^(1/n) の意味を確認しましょう。a^(1/n) は、a を n 回掛け合わせて得られる数を逆算するということです。例えば、a^(1/2) は「a の平方根」、a^(1/3) は「a の立方根」を意味します。
a > 1 という条件から、a の任意の正の実数の冪（べき）である a^(1/n) もまた、a > 1 の性質を引き継ぎます。つまり、a が 1 より大きい場合、a の根（1/n乗）も 1 より大きくなるという事実を証明する必要があります。
証明の流れ
証明のために、次のことを考えます。
- a > 1 であること
- n は自然数であること
まず、a > 1 と仮定します。このとき、a^(1/n) は a を n 回掛け合わせて得られる数の逆算です。具体的に言うと、a^(1/n) は a の n 番目の根です。
仮に a^(1/n) が 1 以下だとすると、a^(1/n) の n 乗をすると、a^(1/n) の n 乗は 1 以下の値の n 乗となり、a よりも小さいか等しくなります。ここで矛盾が生じます。
a^(1/n) > 1 が成り立つ理由
したがって、a > 1 の場合、a^(1/n) は必ず 1 より大きくなります。これは、指数関数の特性に基づいています。つまり、a > 1 という条件の下で、a の任意の正の冪（べき）である a^(1/n) は必ず 1 より大きい値となります。
まとめ
結論として、a > 1 かつ n が自然数のとき、a^(1/n) は必ず 1 より大きいことが証明されました。これは指数関数の基本的な性質に基づいており、数学の多くの場面で利用される重要な知識です。
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