下に凸と上に凸で最大値と最小値の求め方が逆になる理由

数学の関数において、下に凸（凹型）と上に凸（凸型）のグラフの最大値と最小値の求め方が逆になるのは、関数の性質に基づいています。今回はこの概念を詳しく説明し、なぜ逆になるのかを理解するためのポイントを解説します。

下に凸と上に凸の違いとは？

まず、「下に凸」とは、グラフが下方向に弧を描いている状態を指します。この場合、グラフの最も低い点（頂点）が最小値を示します。一方で、「上に凸」は、グラフが上方向に弧を描いている状態で、頂点が最大値を示します。

この違いは、関数の2次導関数（f”(x)）が正か負かによって決まります。2次導関数が正なら関数は上に凸、負なら下に凸となります。

関数の最大値と最小値を求める際、通常、関数の導関数（f'(x)）を使って臨界点を求め、その後、2次導関数（f”(x)）を用いて最大か最小かを判定します。上に凸の関数では、頂点が最大値を示し、下に凸の関数では頂点が最小値を示します。

なぜ逆になるかというと、上に凸のグラフは頂点で最小点を持ち、下に凸のグラフは頂点で最大点を持つためです。この性質が、最大値と最小値の求め方が逆転する原因です。

例えば、関数f(x) = ax² + bx + cのような二次関数を考えると、aの値によって下に凸か上に凸かが決まります。aが正なら上に凸、aが負なら下に凸です。

最大値と最小値を求めるためには、f'(x) = 0となるxの値を求め、f”(x)が正か負かで最大か最小かを判断します。上に凸の場合は最小値、下に凸の場合は最大値が得られます。

下に凸と上に凸の関数で最大値と最小値の求め方が逆になる理由は、関数の形状が異なるためです。上に凸の関数では頂点が最小点を示し、下に凸の関数では頂点が最大点を示します。この違いを理解することで、関数の性質に基づいた正しい解析が可能になります。