群論において、部分群の交差について理解することは非常に重要です。この問題では、群 G の部分群 H1 と H2 に対して、H = H1 ∩ H2 を求める方法について解説します。具体的な求め方とその意味について詳しく説明していきます。
群と部分群の定義
まず、群 G の定義と部分群について復習しておきましょう。群 G は、演算が閉じていて、単位元が存在し、各元に逆元が存在する集合です。部分群 H1 と H2 は G の部分集合であり、G の群の性質を保持する集合です。
部分群が群であるためには、いくつかの条件を満たす必要があります。まず、部分群は G の演算で閉じていなければならず、単位元を含み、各元に逆元を持つ必要があります。
H = H1 ∩ H2 の意味
次に、H = H1 ∩ H2 という記号の意味について説明します。H1 と H2 は G の部分群であり、H1 ∩ H2 は H1 と H2 の交差部分、つまり H1 と H2 の両方に含まれる元からなる集合です。
H1 ∩ H2 は、H1 と H2 が G の部分群であるならば、H1 ∩ H2 もまた G の部分群であることを示します。これを確認するために、交差部分が群の条件を満たすかどうかを調べる必要があります。
H1 ∩ H2 が部分群であることの証明
H1 ∩ H2 が部分群であるかどうかを確認するためには、次の3つの条件を満たすことを示さなければなりません。
- 閉じていること：H1 と H2 の両方に含まれる元同士を演算した結果が、再び H1 ∩ H2 に含まれること。
- 単位元が含まれること：H1 と H2 の両方に単位元が含まれるため、H1 ∩ H2 にも単位元が含まれること。
- 逆元が存在すること：H1 と H2 の両方に逆元が存在するため、H1 ∩ H2 にも各元の逆元が存在すること。
これらの条件が満たされるため、H1 ∩ H2 は H1 と H2 の交差部分でありながら、G の部分群であることが示されます。
実例で確認する
実際の例でこの概念を確認してみましょう。例えば、整数の加法群 Z と、偶数の加法群 2Z が考えられます。この場合、Z と 2Z の交差部分は、偶数の整数全体であり、2Z そのものです。
このように、交差部分が G の部分群になる例を通して、部分群の交差の性質を理解することができます。
まとめ
H1 ∩ H2 は G の部分群であることが証明されました。この証明では、部分群の定義に基づいて交差部分が群の条件を満たすことを確認しました。群論における部分群の交差は、群の構造を理解する上で重要な概念の一つです。
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