曲線上の接線の方程式を求める方法：例題を使って解説

接線の方程式を求める問題では、曲線上の特定の点での接線の傾きを求め、その後接線の方程式を導きます。この記事では、2つの問題を使って、接線の方程式を求める方法を詳しく解説します。

問題(1) 曲線 x^2/9 + y^2/4 = 1 上の点 (3/2, √3) における接線の方程式

まず、曲線 x^2/9 + y^2/4 = 1 の接線の方程式を求めるために、微分を使って傾きを求めます。この曲線は楕円の方程式なので、接線の傾きは楕円の微分を使って求めます。

楕円の方程式における微分を行うと、次のように計算できます。

2x/9 + 2y/4 (dy/dx) = 0

これを解くことで、dy/dx（接線の傾き）が求まります。その後、接線の方程式を点 (3/2, √3) を使って求めます。

最終的に、接線の方程式は、1/6x + √3/4y = 1 となります。

次に、曲線 x^2 – 4y^2 = 4 にない点 (-2, 3) から引いた接線の方程式を求めます。この場合も、まず微分を使って接線の傾きを求めます。

曲線の微分を行うと、次のように表現できます。

2x – 8yy’ = 0

この式を解くことで、接線の傾きを求めます。そして、接線の方程式を点 (-2, 3) に基づいて求めると、x = -2、5/2x + 3y = 4 となります。

接線の方程式を求めるには、まず曲線の方程式を微分して、接線の傾きを計算します。次に、その傾きを用いて接線の方程式を求めます。一般的には、y = mx + b の形式で接線の方程式を求めますが、点を通る接線の場合、点の座標を使って方程式を確定します。

この手順を理解しておくと、さまざまな曲線における接線を効率的に求めることができます。

接線の方程式を求めるためには、微分を使って傾きを求め、その傾きを用いて接線の方程式を導出します。今回の問題(1)と問題(2)では、楕円と双曲線の曲線における接線を求める方法を解説しました。これらの手順を実践することで、さまざまな曲線における接線を求めることができます。