数学の関数の問題解説：同値変形とその正しい方法

この問題では、関数C: y = x²について、C上の点P(X, Y)が与えられた条件を満たすときにx, yを求める問題に取り組みます。特に、与えられた式の同値変形についても詳しく解説します。

問題の設定

問題：「C:y = x²。C上の点P(X,Y)とするとき、x² = 2 – x, y = Y を満たすようなX, Yを求めよ。」

ここで、Cは放物線y = x²を表し、与えられた条件x² = 2 – xを満たすx, yを求めることが求められています。しかし、問題に含まれている式の同値変形について疑問が生じています。

問題で示された同値変形：「x² = 2 – x, y = Y ⇔ y = (2 – x)²」についてですが、この同値変形は正しくありません。なぜなら、x² = 2 – xという式はy = (2 – x)²にそのまま変形できるわけではなく、数学的に誤った式変形です。

実際には、x² = 2 – xをそのままyに代入することはできません。この式はx²がyに相当するわけではないため、同値変形を行う際には注意が必要です。

正しい同値変形を行うためには、まず与えられた式を整理して解く必要があります。具体的には、x² = 2 – xという式を使ってxの値を求め、その後でyの値を求めます。

まず、x² + x – 2 = 0という2次方程式を解くことでxの解を求めます。この方程式は因数分解を使って解くことができ、x = 1またはx = -2という解が得られます。

次に、x = 1またはx = -2が得られた後、yの値を求めるために元々の式y = x²を使用します。x = 1の場合はy = 1² = 1、x = -2の場合はy = (-2)² = 4となります。

したがって、与えられた条件を満たす点P(X, Y)は、(1, 1)と(-2, 4)の2つです。

この問題では、同値変形を誤って行わないようにすることが重要です。正しい手順を踏んで、x² = 2 – xの解を求め、そこからyの値を導き出すことができました。問題を解く際には式の変形に注意し、正しい方法で解答を導きましょう。