SₙとDₙの部分群に関する証明の詳細解説

この問題では、n≧3のとき、n次対称群Sₙが正二面体群Dₙを部分群として含むことを証明する方法を解説します。質問者の解答を元に、正しい証明方法とその詳細について説明します。

問題の背景と解答の概要

問題では、n次対称群Sₙと正二面体群Dₙについて、その関係を示すことが求められています。特に、DₙがSₙの部分群であることを示すための証明が求められます。質問者の解答は、Dₙが位数2nの群であり、Sₙが位数n!の群であることを前提に、DₙがSₙに部分群として含まれる理由を説明しようとしています。

まず、DₙとSₙの関係について整理します。Dₙは正二面体群であり、Sₙはn次対称群です。n≧3の場合、DₙはSₙの部分群として存在します。そのため、DₙをSₙに含めるための単射な写像を構築する必要があります。ここでは、DₙからSₙへの単射な写像が存在するという事実を使用します。

その後、Dₙ内での演算を考え、d₁,d₂∊Dₙを取ったときに、d₁d₂⁻¹もDₙに含まれることを確認します。これによって、DₙはSₙの部分群であることが示されます。

質問者の解答では、Dₙ⊂Sₙが成立する理由として、DₙからSₙへの単射な写像が存在することを挙げています。しかし、この証明の中で「f(x)≧0」や「f(x)＞0」といった不等式が使われる場面において、0を含めるか含めないかの判断に注意が必要です。

正二面体群DₙがどのようにSₙに埋め込まれるか、またその際に群の演算における閉じた性質がどのように働くかを理解することが重要です。

質問者の解答では、DₙとSₙの関係を単に「Dₙ⊂Sₙ」と表現していますが、正確にはDₙはSₙの部分群として存在する理由をさらに掘り下げる必要があります。SₙとDₙの位数や群の構造を正確に理解した上で、部分群としての関係を証明することが求められます。

具体的には、Dₙの要素がSₙ内でどのように作用するかを考え、その結果としてDₙがSₙ内で閉じていることを示すことが証明のポイントです。

SₙとDₙの関係を証明する際には、群の性質や部分群の定義を正確に理解することが大切です。質問者の解答を見直し、群の演算における性質をより詳しく探求することで、部分群としての関係を理解することができます。証明における細かな点を見逃さず、群の構造を正しく把握することが重要です。