漸化式の一般項の求め方: {an} の解法

漸化式の一般項を求めることは、数列における重要なスキルの一つです。ここでは、a1 = 3 、a(n + 1) = 2a – 4 という漸化式を例に取り、その一般項を求める方法を簡単に説明します。数式が少し難しく感じるかもしれませんが、順を追って丁寧に解説していきますので、安心してください。

漸化式とは？

まず、漸化式とは、数列の各項が前の項との関係によって定まる式のことを言います。今回の漸化式では、a1が3であることが与えられており、その後の項はa(n + 1) = 2a – 4のような関係式に従っています。これを元に、数列の一般項を求める方法を見ていきます。

まず、与えられた漸化式を整理します。a(n + 1) = 2a – 4 の式から、a(n + 1) という項が次の項を示していることが分かります。この式は、前の項 (a(n)) に基づいて次の項を決定するものです。

数列を実際にいくつか展開してみると、次のような数列が得られることが分かります。

このように、数列の項が次々に計算できますが、これだけでは一般項は求められません。次に、一般項を求めるための式を探ります。

数列が与えられた場合、その規則性を探し、一般項を求めます。この漸化式の場合、数列がどんどん減少していく様子が分かります。式が線形であるため、一般項を求めるには一次の式を使うと予測できます。

一般項は、次のように求めることができます。

a_n = 3 * (-2)^(n – 1) + 4

今回の漸化式から、一般項を求める方法を解説しました。最初は漸化式に戸惑うかもしれませんが、数列の規則性を見つけることで、一般項を求めることができるようになります。まずは数列の初めの数項を展開し、その後に規則性を見つけて一般項を導出する方法をマスターしましょう。