∫dx/x²+a²=1/a arctan(x/a)+Cにおけるaの絶対値についての疑問

この問題では、積分の結果とその中に現れるaの絶対値に関する疑問について解説します。まず、積分の式とその求め方を整理し、aに関する条件を検討していきます。

積分の式とその結果

与えられた式は、∫dx/(x² + a²)です。この式を解くことで、逆正接関数（arctan）を使った結果が得られます。具体的には、この積分の解は次のように表されます。

∫dx/(x² + a²) = (1/a) arctan(x/a) + C

質問にあるように、aの絶対値についての疑問が生じます。通常、このような積分式においてaの符号に関して特別な制限はないように思えますが、逆正接関数arctan(x/a)の定義において、aは0でない実数であれば問題ないことがわかります。

しかし、aが負であった場合、arctan関数はその振る舞いにおいて符号が変わるだけであり、結果としての積分値自体に実質的な違いは生じません。ただし、通常、aは正と考えることで、計算が簡単になり直感的にも理解しやすいです。

積分結果におけるaは、積分の係数として、また逆正接関数の引数に関与しています。aが負であっても、この関数の値は符号が反転するだけで、逆正接関数の性質に変化はありません。

また、積分結果に現れるaの絶対値を使う場合、a > 0という条件を仮定するのは一般的です。これにより、結果がより標準的な形で表現され、計算がスムーズになります。

結論として、積分の結果においてaが絶対値で表されるのは、主に計算や表現を簡便にするためです。aが負であっても結果に大きな影響を与えるわけではありませんが、通常はa > 0という仮定を置くことで理解が容易になります。