y = x / √(1 + x) の微分方法と答えの導き方

微分の問題は、特に分数や平方根を含む式では少し難しく感じることがあります。この記事では、y = x / √(1 + x) の微分の解き方を詳細に解説します。微分の答えが x + 2 / 2(1 + x) の 3/2 乗であることを導く手順を、ステップバイステップで説明します。

問題の式と微分のルール

まず、与えられた式は y = x / √(1 + x) です。これを微分するためには、積の微分や合成関数の微分のルールを利用します。この式では、分数の形をしており、分母に平方根が含まれているため、いくつかの微分ルールを適用する必要があります。

まず、分母に平方根があるので、√(1 + x) を (1 + x) の 1/2 乗として書き換えます。これにより、式は以下のようになります：
y = x / (1 + x)^(1/2)

次に、商の微分法則を使用します。商の微分法則は、(u/v)’ = (v * u’ – u * v’) / v² という式で表されます。ここで、u = x、v = (1 + x)^(1/2) です。

u’ = 1、
v’ = (1/2) * (1 + x)^(-1/2) * 1 = (1/2) * (1 + x)^(-1/2)

商の微分法則を使って、y’ = (v * u’ – u * v’) / v² を計算します。計算式に代入すると、次のようになります：
y’ = ((1 + x)^(1/2) * 1 – x * (1/2) * (1 + x)^(-1/2)) / (1 + x)

分子を整理し、最後に共通項をまとめると、最終的に次の式が得られます：
y’ = (x + 2) / 2 * (1 + x)^(3/2)

y = x / √(1 + x) を微分する際に必要な手順として、商の微分法則を使用し、式を整理して最終的に答えを導き出しました。微分の過程で平方根の扱いや積の微分法則を意識することが重要です。この手法を使うことで、複雑な式の微分もスムーズに進めることができます。