円の性質を利用した三角形の問題：接線と線分の長さの求め方

三角形の問題では、円の性質を活用することで解法がスムーズになることがあります。特に、直径を一辺に持つ円に内接する三角形の場合、円に関する基本的な性質を使って問題を解く方法があります。この記事では、三角形ABCとその内接円を使った接線の長さを求める問題の解法を解説します。

問題の確認と円の性質

問題で与えられた条件を整理しましょう。

ABが直径となる円に内接する場合、三角形ABCは直角三角形です。これは、円の直径に対する弦が直角であるという円の基本的な性質に基づいています。したがって、∠ACBは90°となります。

接線の性質を利用すると、接点から接線までの距離は、円の半径に垂直です。この場合、点Cでの接線とABの延長線との交点Pを求めるために、接線の長さを計算します。

接線の長さは、円の半径rと接点からの直線距離を使って計算することができます。この問題では、半径rをまず求め、接線の長さを出す手順を進めていきます。

質問者が言うように、余弦定理を使って解くことも可能です。余弦定理を使うと、三角形ABCの各辺や角度を利用して、接線の長さを求めることができます。しかし、ここではより簡単に解ける別の方法を考えます。

円の性質を活用する方法として、接線の長さを直接求める式を使うと、無理なく解くことができます。この方法では、円の半径や直角三角形の性質を利用して、具体的な数値を計算します。

この問題では、AB = 5、AC = 4という情報をもとに、まず円の半径を求めます。ABが直径なので、円の半径rはABの半分で2.5となります。

次に、接線の長さを求めるために、三角形ABCを使ってCPを求めます。この場合、直角三角形の性質を利用して、接線の長さを計算します。計算結果はCP = 60/7となり、このようにして問題を解決できます。

円に内接する三角形の問題では、円の性質や直角三角形の特性をうまく活用することが重要です。接線の長さや接点からの距離を求めるためには、円の半径や直角三角形の性質を利用し、計算を進めることが解法の鍵となります。

余弦定理を使う方法もありますが、円の性質を活用することで、より簡単に解くことができることが多いです。問題を解く際は、円の性質をしっかり理解し、適切な方法を選択することが大切です。