三角形ABCの外接円の中心と半径の求め方

座標平面上の3点A(1,3)、B(5,-5)、C(4,2)が与えられたとき、この3点で形成される三角形ABCの外接円の中心と半径を求める問題について解説します。一般的に外接円の中心は三角形の外心であり、外接円の半径は外心から三角形の任意の頂点までの距離です。この記事では2つの方法、すなわち、x^2 + y^2 + lx + my + n = 0という方程式を使った方法と、中心Oを(a,b)とおいて連立方程式で解く方法について、どちらが適切かを説明します。

1. 外接円の中心と半径の求め方

まず、外接円の中心（外心）は三角形の各辺の垂直二等分線が交わる点です。したがって、この交点を求める方法が重要です。外接円の半径は、この交点から任意の頂点までの距離です。一般的に、外心は連立方程式を解いて求めます。

2. 方法1: 連立方程式による解法

この方法では、三角形の頂点A, B, Cを通る外接円の方程式を求め、連立方程式を解くことで外心を求めます。方程式の形は、x^2 + y^2 + lx + my + n = 0となり、A, B, Cの座標を代入して連立方程式を立てることで解けます。

3. 方法2: 中心O(a,b)をおいて解く方法

中心Oを(a,b)とおき、AO=BO=COをそれぞれ計算して連立方程式で解く方法も有効です。これは外心の定義に基づき、各点から外心までの距離が等しいことを利用します。各点から中心までの距離の式を立て、その解を求めることで外心を導きます。

4. どちらの方法が適切か

どちらの方法も正解に導くことができますが、方法1の方が一般的に広く使われている方法です。方程式を使った方法は、座標平面上での位置関係を計算で求めるため、理解しやすく効率的です。一方、方法2では、幾何学的な直感を使って問題を解くことができるため、より視覚的な理解が得られるかもしれません。

まとめ

外接円の中心と半径を求める問題では、連立方程式を使う方法と、中心をおいて解く方法の2つのアプローチがあります。どちらの方法を選んでも正しい答えに到達できますが、一般的には連立方程式を使った方法が最も広く用いられており、実用的です。質問者のように、どの方法を使うか迷った場合は、自分が最も理解しやすい方法を選ぶと良いでしょう。