白玉3個赤玉6個を取り出す確率: 6回目に2度目の白玉が出る確率の求め方

白玉3個、赤玉6個が入った袋から、玉を1個取り出し、色を調べてから元に戻すという操作を6回続けるとき、6回目に2度目の白玉が出る確率を求める問題です。この記事では、この確率をどのように求めるかを詳細に解説します。

問題の設定と基本的な理解

まず、この問題の設定を確認しましょう。袋の中には白玉が3個、赤玉が6個入っています。玉を1個取り出して色を確認し、元に戻す操作を6回行うというものです。このような問題では、順番に起こる事象の確率を求めることが求められます。

玉を元に戻すため、各回の取り出しにおいて、確率は独立しており、同じ確率が毎回適用されます。したがって、白玉を取り出す確率と赤玉を取り出す確率は毎回変わりません。

玉を取り出す確率を求めるために、まず各回の白玉が出る確率を計算します。袋の中には9個の玉があるので、白玉を1個取り出す確率は、3/9 = 1/3です。また、赤玉が出る確率は6/9 = 2/3です。

次に、問題で求められている「6回目に2度目の白玉が出る確率」を考えます。この問題は、最初の5回で1回白玉を引き、6回目で2回目の白玉を引くという事象です。

まず、「最初の5回で1回だけ白玉を引く」確率を計算します。これは二項分布に従う問題であり、次の式で求めることができます。

確率 = C(5, 1) × (1/3)^1 × (2/3)^4

ここで、C(5, 1)は5回のうち1回白玉を引く組み合わせ数であり、計算するとC(5, 1) = 5です。したがって、この確率は次のようになります。

確率 = 5 × (1/3) × (2/3)^4 = 5 × (1/3) × (16/81) = 80/243

次に、6回目に白玉を引く確率を求めます。これは単純に白玉を引く確率、すなわち1/3です。

最終的な確率は、最初の5回で1回白玉を引く確率と、6回目に白玉を引く確率を掛け合わせたものです。したがって、最終的な確率は次のように求められます。

確率 = (80/243) × (1/3) = 80/729

「白玉3個、赤玉6個が入っている袋から、玉を1個取り出し、色を調べてから戻す操作を6回続けるとき、6回目に2度目の白玉が出る確率」は、計算によって80/729と求めることができます。この問題は、確率の基本的な計算方法である二項分布を使って求めることができ、理解を深めるための良い練習問題です。