身長の低い方から3%の中に入る生徒の身長を求める方法

身長が正規分布に従うクラスの中で、身長が低い方から3%に入る生徒の身長を求める問題について解説します。この問題では、正規分布に基づいて特定のパーセンタイルに対応する値を計算します。この記事では、その計算手順を詳しく説明します。

問題の理解と解法のアプローチ

問題では、クラスの身長が平均164.2cm、標準偏差5.2cmの正規分布に従っているとされています。そして、身長が低い方から3%に入る生徒の身長を求めることが求められています。このような場合、正規分布におけるパーセンタイルの計算方法を使用します。

まずは、P(X <= u)の形で表現します。この場合、Xは身長、uは求める身長の値です。P(X <= u) = 0.03という形で表すと、この値に対応するXの値を求めることが目的となります。

正規分布において、特定のパーセンタイルに対応する値を求めるためには、Zスコアを用います。Zスコアは、あるデータが平均から何標準偏差の位置にあるかを示す指標です。Zスコアの計算式は以下の通りです。

Z = (X – μ) / σ

ここで、Xは求めたい身長、μは平均身長、σは標準偏差です。Zスコアを求めるには、まずP(X <= u) = 0.03に対応するZ値を確認し、そのZスコアを使用して身長を求めます。

P(X <= u) = 0.03に対応するZスコアは、標準正規分布表を参照することで求めることができます。Zスコアが約-1.88であることが分かります。これを元に、身長を求める計算を行います。

次に、このZスコアを使って身長を求める計算を行います。

-1.88 = (X – 164.2) / 5.2

この式を解くことで、X（求める身長）の値を得ることができます。

式を解くと、X = 164.2 + (-1.88 × 5.2) = 164.2 – 9.78 = 154.42cmとなります。

したがって、身長が低い方から3%の中に入る生徒の身長は、約154.42cm以下であることが分かります。最も大きい整数値で求めるという条件に従い、答えは154cmとなります。

この問題では、正規分布を用いて特定のパーセンタイルに対応する身長を計算する方法を解説しました。身長の低い方から3%に入る生徒の身長は、Zスコアを利用して求めた結果、約154cmであることが分かりました。正規分布を使ったパーセンタイルの計算は、さまざまな実際のデータ分析にも応用できます。